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Joseph Bertrand - D'Alembert
qu'il en donne est fondée sur un singulier sophisme:
«Il est très possible, dit-il, et même facile de produire le même événement en un seul coup autant de fois
qu'on le voudra, et il est au contraire très difficile de le produire en plusieurs coups successifs, et
peut-être impossible, si le nombre des coups est très grand.»
«Si j'ai, ajoute d'Alembert, deux cents pièces dans la main et que je les jette en l'air à la fois, il est certain
que l'un des coups croix ou pile se trouvera au moins cent fois dans les pièces jetées, au lieu que, si l'on
jetait une pièce successivement en l'air cent fois, on jouerait peut-être toute l'éternité avant de produire
croix ou pile cent fois de suite.» Est-il nécessaire de faire remarquer que les deux cas assimilés sont
entièrement distincts, et que jeter deux cents pièces en l'air pour choisir après coup les cent qui tournent
la même face, c'est absolument comme si l'on jetait en l'air une pièce deux cents fois de suite, en
choisissant après, pour les compter seules, les épreuves qui ont fourni le résultat désiré? Dans cette
discussion, qui d'ailleurs n'occupe qu'une bien faible place parmi ses opuscules, d'Alembert se trompe
complètement et sur tous les points. Son esprit, désireux de lumière, toujours prêt à déclarer impénétrable
ce qui lui semble obscur, était plus qu'un autre exposé au péril de condamner légèrement les
raisonnements si glissants et si fins du calcul des chances. Quant au paradoxe du problème de
Saint-Pétersbourg, il disparaît entièrement lorsqu'on interprète exactement la réponse du calcul: une
convention équitable n'est pas une convention indifférente pour les parties; cette distinction éclaircit tout.
Un jeu peut être à la fois très juste et très déraisonnable. Supposons, pour mettre cette vérité dans tout
son jour, que l'on propose à mille personnes possédant chacune un million de former en commun un
capital d'un milliard, qui sera abandonné à l'une d'elles désignée par le sort, toutes les autres restant
ruinées. Le jeu sera équitable, et pourtant aucun homme sensé n'y voudra prendre part. En termes plus
simples et plus évidents encore: un très gros jeu est insensé sans être inique.
Le problème de Saint-Pétersbourg offre, sous l'apparence d'un jeu très modéré, dans lequel on doit
vraisemblablement payer quelques francs seulement, des conventions qui peuvent, dans des cas qui n'ont
rien d'impossible, rendre la perte colossale.
Les plus grands géomètres ont écrit sur le calcul des probabilités; presque tous ont commis des erreurs: la
cause en est, le plus souvent, au désir d'appliquer des principes à des problèmes qui par leur nature
échappent à la science.
D'Alembert commet la faute opposée: il nie les principes. Imposer aux hasards des lois mathématiques
est pour lui un contresens; il rejette le problème et détourne les yeux. Les géomètres, sur ce point,
n'avaient qu'un parti à prendre, celui de ne pas le lire. Il n'a jamais connu la question. Daniel Bernouilli
l'a invité à se mettre au fait des matières dont il parle. D'Alembert l'a traité d'impertinent: ils avaient tous
les deux raison.
Lorsque, trop confiant dans la théorie, on l'invoque dans des cas où elle n'a que faire, le scepticisme
reprend l'avantage. La célèbre question de l'inoculation en offre un exemple.
L'inoculation, au XVIIIe siècle, avant la découverte de la vaccine, était pour les familles le parti le plus
sage; l'étude des faits le rendait évident, mais il ne fallait pas mêler de formules à la discussion: telle est
la thèse de d'Alembert. Il l'a, selon sa coutume, soutenue avec chaleur et esprit; il adopte la bonne cause
et combat ceux qui la défendent mal; nous ne devons pas passer sous silence ce rôle qui lui fait honneur.
La question de fait domine tout; elle repose sur des chiffres incertains. Les statistiques n'étaient pas
d'accord. D'Alembert, dont la conclusion est résolument favorable à l'inoculation, allègue surtout le très
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